miércoles, 3 de febrero de 2016

Acerca de este blog



En este blog encontraras información detallada sobre los tres sistemas de coordenadas más utilizados: los sistemas de coordenadas cartesianas (o rectangulares), cilíndricas y esféricas.


También estudiaremos las reglas de transformación entre estos tres sistemas, no solo mostrando las relaciones entre las coordenadas, sino también presentaremos las relaciones de cambio de los vectores unitarios, de las derivadas parciales y de las componentes de un campo vectorial.


Además describiremos, en los tres sistemas de coordenadas, los elementos diferenciales de desplazamiento, superficie y volumen, el operador nabla, el gradiente de una función escalar, y la divergencia y el rotacional de una función vectorial. También presentaremos algunas consideraciones generales para un sistema  de coordenada ortonormal arbitrario.



Los contenidos de este blog son los siguientes:


4. Sistema de coordenadas esféricas.

....


El blog todavía está en construcción. No tardaré en completarlo. Por favor disculpa las molestias....






lunes, 1 de febrero de 2016

1. Introducción: 
Importancia de elegir un sistema de coordenadas apropiado.


La elección de un sistema de coordenadas y su ubicación es un paso crucial para resolver un problema físico o matemático específico, dado que una elección óptima simplifica significativamente su resolución. Para llegar a esta elección afortunada nos fijaremos en la simetría del problema, para ello examinaremos si los puntos de las condiciones de frontera coinciden entre sí al tomar como referencia una cierta región del espacio, por ejemplo, una región 2D (es decir, un plano), una región 1D (un eje) o una región 0D (un punto del espacio).

En este blog estudiaremos tres sistemas de coordenadas que atienden a estas simetrías sencillas (2D, 1D, 0D):

Simetría respecto a un plano: En este caso emplearemos  el sistema de coordenadas cartesianas o rectangulares, ubicando el plano XY de nuestro sistema de coordenadas en el plano de simetría, quedando el eje Z en la dirección perpendicular al plano.

Simetría axial o respecto a un eje: En este caso emplearemos el sistema de coordenadas cilíndricas ubicando el eje Z a lo largo del eje de simetría.

Simetría esférica o respecto a un punto del espacio: En este caso emplearemos el sistema de coordenadas esféricas ubicando el centro u origen de coordenadas en el punto a partir del cual el problema presenta 












domingo, 31 de enero de 2016

2. Sistema de Coordenadas Cartesianas (o Rectangulares)

__________________________________________________________________________




Fig. 2.1.  Sistema de coordenadas cartesianas o rectangulares.



En este sistema de coordenadas trabajaremos con un sistema de tres ejes perpendiculares entre si, que llamaremos X, Y y Z.


Las coordenadas que emplearemos para describir un punto arbitrario del espacio, P, son x, y y z. Estas coordenadas son las respectivas distancias al origen de las proyecciones ortogonales de P sobre los ejes X, Y y Z, y por tanto son las componentes del vector de posición:


 donde:



con i= x, y, zson los vectores unitarios en las direcciones de los ejes X, Y y Z de este sistema de coordenadas (ver fig. 2.1). También es común describir al vector posición por medio de paréntesis:



Los dominios de definición de estas coordenadas son:



A los vectores los describiremos mediante sus componentes:



o bien



                                 
El sistema de coordenadas rectangulares es empleado cuando el problema a resolver tiene simetría respecto a un plano. En estas circunstancias se suele ubicar el plano XY (aunque pudieran ser los planos XZ y YZ) del sistema de coordenadas en el plano con respecto al cual el problema tiene simetría, cayendo el eje Z en la dirección perpendicular a este plano.



Elementos diferenciales de desplazamiento, superficie y volumen en coordenadas cartesianas.


Para poder desarrollar el cálculo vectorial es necesario definir elementos diferenciales. Veamos como se definen los elementos diferenciales de desplazamiento, superficie y volumen en coordenadas cartesianas:



i) Elemento diferencial de desplazamiento

La  expresión general del elemento diferencial de desplazamiento en coordenadas cartesianas es:



Obsérvese que podemos tener casos particulares en los que no haya desplazamientos en alguna de las direcciones X, Y y/o Z. Por ejemplo, en el caso en el que no tengamos desplazamientos en la dirección Z, es decir dz=0, tendremos el elemento diferencial de desplazamiento:






ii) Elementos diferenciales de área o superficie



Podemos considerar también trocitos de área o de superficie, infinitamente pequeños, los cuales llamaremos elementos diferenciales de superficie. El elemento diferencial de superficie está determinado por un vector:




cuyo módulo es el área del elemento diferencial de superficie y




es el vector unitario normal a la superficie diferencial dS estudiada. En coordenadas cartesianas podemos definir los siguientes elementos diferenciales de superficie:




La figura 2.2 muestra una representación de estos elementos.


Figura 2.1.- Sistema de coordenadas cartesianas o rectangulares..





      iii) Elementos diferenciales de volumen

Hagamos ahora el ejercicio de abstracción de imaginar un trocito de espacio cuyas tres dimensiones son diferenciales: dx, dy y dz (ver figura 2.3). Su volumen es el elemento diferencial de volumen en coordenadas cartesianas:










Figura 2.2.- Elementos de superficie en coordenadas cartesianas.   



Observa que el elemento diferencial de volumen es un escalar, mientras que los elementos diferenciales de desplazamiento y superficie son magnitudes vectoriales.



Atrás              Siguiente