 |
| Fig. 2.1. Sistema de coordenadas cartesianas o rectangulares. |
En este sistema de coordenadas trabajaremos con un sistema de tres ejes perpendiculares entre si, que llamaremos X, Y y Z.
Las coordenadas que emplearemos para describir un punto arbitrario del espacio, P, son x, y y z. Estas coordenadas son las respectivas distancias al origen de las proyecciones ortogonales de P sobre los ejes X, Y y Z, y por tanto son las componentes del vector de posición:
donde:
con i= x, y, z, son los vectores unitarios en las direcciones de los ejes X, Y y Z de este sistema de coordenadas (ver fig. 2.1). También es común describir al vector posición por medio de paréntesis:
Los dominios de definición de estas coordenadas son:
A los vectores los describiremos mediante sus componentes:
o bien
El sistema de coordenadas rectangulares es empleado cuando el problema a resolver tiene simetría respecto a un plano. En estas circunstancias se suele ubicar el plano XY (aunque pudieran ser los planos XZ y YZ) del sistema de coordenadas en el plano con respecto al cual el problema tiene simetría, cayendo el eje Z en la dirección perpendicular a este plano.
Elementos diferenciales de desplazamiento, superficie y volumen en coordenadas cartesianas.
Para poder desarrollar el cálculo vectorial es necesario definir elementos diferenciales. Veamos como se definen los elementos diferenciales de desplazamiento, superficie y volumen en coordenadas cartesianas:
i) Elemento diferencial de desplazamiento
La expresión general del elemento diferencial de desplazamiento en coordenadas cartesianas es:
Obsérvese que podemos tener casos particulares en los que no haya desplazamientos en alguna de las direcciones X, Y y/o Z. Por ejemplo, en el caso en el que no tengamos desplazamientos en la dirección Z, es decir dz=0, tendremos el elemento diferencial de desplazamiento:
ii) Elementos diferenciales de área o superficie
Podemos considerar también trocitos de área o de superficie, infinitamente pequeños, los cuales llamaremos elementos diferenciales de superficie. El elemento diferencial de superficie está determinado por un vector:
cuyo módulo es el área del elemento diferencial de superficie y
es el vector unitario normal a la superficie diferencial dS estudiada. En coordenadas cartesianas podemos definir los siguientes elementos diferenciales de superficie:
La figura 2.2 muestra una representación de estos elementos.
 | ||
Figura 2.1.- Sistema de coordenadas cartesianas o rectangulares..
iii) Elementos diferenciales de volumen
Hagamos ahora el ejercicio de abstracción de imaginar un trocito de espacio cuyas tres dimensiones son diferenciales: dx, dy y dz (ver figura 2.3). Su volumen es el elemento diferencial de volumen en coordenadas cartesianas: 
Observa que el elemento diferencial de volumen es un escalar, mientras que los elementos diferenciales de desplazamiento y superficie son magnitudes vectoriales.
|
